Matematyka

Przedmowa 9

Rozdział 1. Zagadnienia wstępne 11
1.1. Elementy logiki 11
1.2. Elementy teorii mnogości 14
1.3. Relacje 21
1.4. Symbole uogólnione 22

Rozdział 2. Funkcja jednej zmiennej i jej własności 25
2.1. Pojęcie funkcji jednej zmiennej 25
2.2. Ciąg liczbowy i jego własności 26
2.3. Przegląd funkcji elementarnych 37
2.4. Podstawowe własności funkcji jednej zmiennej 44
2.4.1. Monotoniczność i różnowartościowość funkcji 44
2.4.2. Ograniczoność funkcji 46
2.4.3. Okresowość funkcji 47
2.4.4. Parzystość, nieparzystość funkcji 48
2.5. Złożenie funkcji 49
2.6. Funkcja odwrotna 50
2.7. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej 53
2.7.1. Definicja granicy w punkcie 53
2.7.2. Granice w nieskończoności 57
2.7.3. Własności granic 58
2.8. Ciągłość funkcji 60
2.9. Asymptoty funkcji 63
2.10. Zadania 69
2.11. Pytania testowe 73
2.12. Odpowiedzi do zadań 76
2.13. Odpowiedzi do pytań testowych 79

Rozdział 3. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 81
3.1. Pochodna funkcji jednej zmiennej 81
3.1.1. Pochodna funkcji w punkcie 81
3.1.2. Pochodna jako funkcja 84
3.2. Pochodne funkcji wyższych rzędów 89
3.3. Różniczki funkcji 91
3.4. Zastosowanie pochodnych do badania własności funkcji 93
3.4.1. Symbole nieoznaczone i reguła de L’Hospitala 93
3.4.2. Ekstrema lokalne i monotoniczność funkcji 96
3.4.3. Wklęsłość, wypukłość funkcji i punkty przegięcia 103
3.5. Badanie przebiegu zmienności funkcji 107
3.6. Zastosowanie ekonomiczne rachunku różniczkowego
funkcji jednej zmiennej 114
3.6.1. Funkcje popytu i podaży. Krzywe Törnquista 114
3.6.2. Funkcje kosztów, przychodu i zysku 117
3.6.3. Elastyczność funkcji 118
3.6.4. Funkcja trendu i stopa wzrostu 119
3.7. Zadania 121
3.8. Pytania testowe 127
3.9. Odpowiedzi do zadań 130
3.10. Odpowiedzi do pytań testowych 144

Rozdział 4. Szeregi liczbowe 145
4.1. Definicja szeregu liczbowego i sumy szeregu 145
4.2. Rodzaje szeregów liczbowych 146
4.3. Wyznaczanie sum wybranych szeregów 147
4.4. Warunek konieczny zbieżności szeregu 151
4.5. Kryteria zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych 153
4.6. Badanie zbieżności szeregów naprzemiennych 159
4.7. Zadania 161
4.8. Pytania testowe 164
4.9. Odpowiedzi do zadań 167
4.10. Odpowiedzi do pytań testowych 169

Rozdział 5. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej 171
5.1. Pojęcie całki nieoznaczonej i jej własności 171
5.2. Podstawowe metody całkowania 174
5.3. Całka oznaczona Riemanna i jej własności 178
5.4. Całki niewłaściwe I i II rodzaju 186
5.5. Całka jako funkcja górnej granicy całkowania 191
5.6. Funkcja beta i gamma 193
5.7. Przykłady zastosowania rachunku całkowego w ekonomii 196
5.8. Zadania 198
5.9. Pytania testowe 202
5.10. Odpowiedzi do zadań 205
5.11. Odpowiedzi do pytań testowych 207

Rozdział 6. Macierze 209
6.1. Pojęcie macierzy i rodzaje macierzy 209
6.2. Działania na macierzach 213
6.3. Charakterystyki liczbowe macierzy 217
6.4. Macierz transponowana i odwrotna. Metody wyznaczania 225
6.5. Pierwiastki charakterystyczne. Określoność macierzy 231
6.6. Zadania 233
6.7. Pytania testowe 237
6.8. Odpowiedzi do zadań 240
6.9. Odpowiedzi do pytań testowych 243

Rozdział 7. Układy równań liniowych 245
7.1. Definicja układu równań liniowych i jego postaci 245
7.2. Klasyfikacja układów równań 246
7.3. Twierdzenie Kroneckera-Cappellego i jego zastosowanie 249
7.4. Układy równań Cramera 251
7.5. Nieoznaczone układy równań 254
7.6. Zadania 258
7.7. Pytania testowe 260
7.8. Odpowiedzi do zadań 263
7.9. Odpowiedzi do pytań testowych 265

Rozdział 8. Funkcje wielu zmiennych 267
8.1. Pojęcie funkcji wielu zmiennych 267
8.2. Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych 270
8.3. Pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych 274
8.4. Pochodna kierunkowa funkcji wielu zmiennych 280
8.5. Różniczki zupełne funkcji wielu zmiennych 282
8.6. Zastosowanie pochodnych cząstkowych do badania
funkcji wielu zmiennych 285
8.6.1. Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych 285
8.6.2. Wklęsłość i wypukłość funkcji wielu zmiennych 288
8.6.3. Ekstrema warunkowe funkcji wielu zmiennych 290
8.6.4. Najmniejsza i największa wartość funkcji 293
8.7. Zastosowanie ekonomiczne funkcji wielu zmiennych 297
8.8. Zadania 302
8.9. Pytania testowe 307
8.10. Odpowiedzi do zadań 310
8.11. Odpowiedzi do pytań testowych 317

Literatura 319